Discriminante de la ecuación cuadrática

El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática dentro del símbolo de raíz cuadrada: b²-4ac. El discriminante nos indica si hay dos soluciones. una solución, o ninguna.

Repaso corto de la fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática es

$x=\dfrac{-\goldD{b}\pm\sqrt{\goldD{b}^2-4\purpleD{a}\redD{c}}}{2\purpleD{a}}$x, equals, start fraction, minus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, end color #e07d10, squared, minus, 4, start color #7854ab, a, end color #7854ab, start color #e84d39, c, end color #e84d39, end square root, divided by, 2, start color #7854ab, a, end color #7854ab, end fraction

para cualquier ecuación cuadrática como:

$\purpleD{a}x^2 + \goldD{b}x + \redD{c} = 0$start color #7854ab, a, end color #7854ab, x, squared, plus, start color #e07d10, b, end color #e07d10, x, plus, start color #e84d39, c, end color #e84d39, equals, 0

¿Qué es el discriminante?

El $\goldD{\text{discriminante}}$start color #e07d10, start text, d, i, s, c, r, i, m, i, n, a, n, t, e, end text, end color #e07d10 es la parte de la fórmula cuadrática bajo la raíz cuadrada.

$x=\dfrac{-{b}\pm\sqrt{\goldD{b^2-4ac}}}{2a}$x, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, start color #e07d10, b, squared, minus, 4, a, c, end color #e07d10, end square root, divided by, 2, a, end fraction

El discriminante puede ser positivo, cero o negativo y esto determina cuántas soluciones (o raíces) existen para la ecuación cuadrática dada.

• Un discriminante positivo indica que la cuadrática tiene dos soluciones reales distintas.
• Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida.
• Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.

Ejemplo

Nos dan una ecuación cuadrática y nos preguntan cuántas soluciones tiene:

$6x^2+10x-1 =0$6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0

De la ecuación, vemos que:

• $a=6$a, equals, 6
• $b=10$b, equals, 10
• $c=-1$c, equals, minus, 1

Al sustituir estos valores en el discriminante, obtenemos:

$\begin{aligned} &b^2-4ac\\\\ =&10^2-4(6)(-1)\\\\ =&100+24\\\\ =&124 \end{aligned}$

Es un número positivo, por lo que la cuadrática tiene dos soluciones.

Esto tiene sentido si pensamos en la gráfica correspondiente.

$\small{2}$$\small{4}$$\small{\llap{-}4}$$\small{2}$$\small{4}$$\small{\llap{-}4}$$y$$x$

Gráfica de y=6x^2+10x-1

Observa cómo la gráfica cruza el eje $x$x en dos puntos. En otras palabras, hay dos soluciones que tienen un valor de $y$y de $0$0, por lo que deben existir dos soluciones a nuestra ecuación original: $6x^2+10x-1 =0$6, x, squared, plus, 10, x, minus, 1, equals, 0.

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